一:高中阶段关于函数对称性:只考察轴对称和中心对称.
1.轴对称定义: p(x,y)是函数y=f(x)上的点, x=a为对称轴,则p点关于x=a的对称点p'(x',y')也在f(x)上. p'和p的连线的横坐标x的中点为a,y纵坐标相等.
2.中心对称定义:p(x,y)是函数y=f(x)上的点, A(a,b)为对称点,则p点关于A点的对称点p'(x',y')也在f(x)上.p'和p连线的x坐标的中点为a, y纵坐标中点为b.
二: 接下来我们仔细推导下关于这两个对称的性质特点和公式:
- 关于x=a的轴对称:
f(x+a)=f(a-x) (1)
或由(1)推导出来的: (令x=a-x,代入(1))
f(x)=(2a-x) (2)
证明: 根据函数关于x=a对称的定义,p(x,y) 的对称点p(x',y')有如下等式
(x+x')/2=a
y=y'
我们得到: x'=2a-x
由于p'(x',y')也在f(x)上 ,代入
f(x')=f(2a-x)=y',而y'=y=f(x)
所以 f(2a-x)=f(x),证得(2) ,
再加x+a替换x 得 f(2a-(x+a))=f(a-x)=f(a+x)
证得(1) f(a-x)=f(a+x)
结论:f(x+a)=f(a-x),或 f(2a-x)=f(x),函数关于x=a 轴对称,
轴对称跟偶函数关系:
若令a=0,则x=0为轴对称,f(x)=f(-x),符合偶函数定义.
2.关于A(a,b)点中心对称的结论以及证明推导:
首先看结论: f(x+a)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-x)=2b
证明: 根据函数关于A(a,b)中心对称的定义,p(x,y) 的对称点p(x',y')有如下等式
(x+x')/2=a (y+y')/2=b
于是得到:x'=2a-x y'=2b-y
因为p'在f(x)上,所以 f(x')=y' y'=f(2a-x)
因为y=f(x) y'=2b-y=2b-f(x)=f(2a-x) 整理得到
f(2a-x)+f(x)=2b
将x用x+a替换上面等式变换,得到 f(2a-(x+a))+f(x+a)=2b 得到
f(a-x)+f(x+a)=2b
所以得到:
关于A(a,b)中心对称,f(x)满足如下性质:
f(2a-x)+f(x)=2b 或 f(a-x)+f(x+a)=2b
中心对称跟奇函数的关系: 我们将上面等式a=0,b=0,得到对称点A(0,0)
f(-x)+f(x)=0 即 f(x)=-f(-x), f(x)为奇函数
三: 总结与归纳:
1.对称性可以变换成函数的奇偶性
2.可以通过证明对称性的过程来推导对称中心或对称轴
3.对称性还可以带来周期,性下次探讨.
四: 问题研究:
f(x)=sinx ,你能找出它的对称轴,对称中心吗? 请写出推导过程..
